함수의 대칭이동 - 대칭은 합이 일정하다

대칭이동에 관한 얘기는 중학교 때부터 꾸준히 들어왔던 내용이어서 익숙하게 느끼는 영역일 것이다. 하지만 수식으로 표현되어 있는 함수를 볼 때 이를 어떻게 해석하고 조작하는지에 대한 내용은 명확하게 알고 넘어갈 필요가 있다.

우선 함수 자체에 대칭이 있는 경우에 대해 생각해보자. 여기서 제일 많이 봤던 것들이 우함수, 기함수정도가 있을 것이다. 우함수는 y축 대칭, 즉 선대칭 함수 중 하나이고, 기함수는 원점 대칭, 즉 점대칭 함수 중 하나인데, 이를 수식으로 표현해보면

우함수: f(x) = f(-x)

기함수: f(x) = -f(-x)

또 하나 생각해 볼 수 있는 건 y=x 대칭, 즉 선대칭 함수 중 하나정도 있을텐데, 이를 수식으로 표현해보면

y=x대칭함수: f(f(x)) = x

(이건 사실 하나의 함수 자체가 y=x 대칭인 상황보다 두 함수가 역함수일 때의 대칭인 상황이 더 자주 나오므로 더 일반화해서 살펴볼 필요는 없어보인다. 실제로 평가원에서 함수 자체가 y=x 대칭인 것은 낸 적이 없었고(만약 나온다면 '모든실수에 대하여 f(f(x))=x를 만족한다') 방정식 f(f(x))=x 꼴은 19년 9월 고3 평가원 수학 나형 30번으로 나온 적이 있었다. 이런 꼴의 유형은 미리 정리해두면 쉽게 접근할 수 있으므로 나중에 기회가 되면 정리해보겠다.) 

 

우함수와 기함수는 모두 점대칭과 선대칭의 특수한 상황 하나일 때인 것이므로 임의의 함수가 임의의 것에 대칭일 때나 대칭이동을 한다라는 상황이 나왔을 때 함수로 바로 표현할 수 있을 정도의 개념을 갖춰놔야 함수를 해석하고 조작하기 쉬워질 것이다.

함수 y = f(x)를 x=k에 대해 대칭이동한다고 하면 y = f(2k-x)로 표현한다.

아이디어는 대칭이면 합은 일정하다라는 생각을 해보는 것이다. f(x)위의 한 점 (a,f(a))를 생각해보자. 함수를 x=k 대칭이동을 하면 함수 안에 있는 좌표도 x=a 대칭이동을 한 것이므로 이 점은 (b,f(a))로 표현할 수 있을 텐데, 선대칭이므로 두점은 k를 기준으로 같은 길이 만큼 떨어져 있을 것이고 따라서 k는 두 점의 중심에 위치해 있을 것이다. 이를 식으로 표현하면 k=(a+b)/2 일 것이고 정리를 해보면 b=2k-a 로 표현되는 것을 확인할 수 있다.

어떤 함수 f(x)가 x=k에 대해 대칭이다라고 하면 이는 수식으로 어떻게 표현하면 될까? 대칭이동하는 것에 대 함수로 표현하는 것을 알게 되었으므로 대칭이동한 함수와 기존함수가 같다라고 표현하면 될 것이다. 즉, f(x)=f(2k-x) 로 표현하면 x=k 대칭인 함수라고 해석할 수 있을 것이다.

 

x축에 평행한 선에 대해 대칭이동해도 똑같은 아이디어로 적용해서 함수를 표현할 수 있을 것이다. y=f(x)를 y=k에 대해 대칭이동한다고 하면 y를 2k-y 로 바꿔주면 될 것이다. 해당함수를 양함수로 다시 표현하면 y=2k-f(x) 로 나올 것이기 때문에 f(x)를 2k-f(x) 로 바꿔준다라고 생각하면 식정리를 더 빠르게 할 수 있을 것이다. 

어떤 함수 f(x)가 y=k에 대해 대칭이다라는 상황이 나올 수 있을까? 그럴 수는 없을 것이다. 그렇게 되면 x값 하나에 해당하는 치역이 두개가 나오는 상황이 나올 것이기 때문이다. 따라서 이때는 수식으로 표현할 필요가 없을 것이다.

 

함수 y = f(x)를 점(k,m)에 대해 대칭이동한다고 하면 y = 2m-f(2k-x)로 표현한다.

점대칭이라는 것은 선대칭을 두번한 것과 마찬가지이므로 배웠던 대로 하나하나 표현하면 될 것이다. 우선 f(x)를 x=k에 대해 대칭이동하면 f(2k-x)가 되었을 것이고, 이를 y=m에 대해 대칭이동을 하면 y= 2m-f(2k-x) 가 나오게 되는 것이다.

어떤 함수 f(x)가 (k,m)에 대해 대칭이다라고 하면 이는 수식으로 표현하면 아까랑 똑같이 두 함수가 같다라고 쓰면 되는 것이므로 f(x)=2m-f(2k-x) -> f(x)+f(2k-x)=2m 으로 표현하는 것이다.

 

정리하면

x=k 대칭이동 한다  : x -> 2k-x
y=k 대칭이동한다 : y -> 2k-y
f(x)가 x=k 에 대해 대칭이다 : f(x) = f(2k-x)
f(x)가 점(k,m)에 대해 대칭이다 : f(x) + f(2k-x) = 2m

 

표현법을 외우는 것도 중요하지만 왜 이렇게 표현하는지에 대해 이해하는 것도 중요하다. "대칭이면 합이 일정하다"라는 아이디어를 활용해서 다 표현할 수 있다고 명확히 이해하게 된다면 대칭이동에 대한 개념을 다 파악했다고 생각할 수가 있다. 이렇게 개념을 가진 상태로 2024 수능 미적분 28번 문제를 보았다면 함수에 대한 해석을 쉽게 할 수 있었을 것이다. 이것 말고도 배수화에 대한 개념까지 알고 있다면 28번 문제는 5분 안에 해결 할 수 있을 정도의 난이도였을 것이다. 배수화에 대한 해석까지 글을 작성하고나서 28번 문제풀이를 진행해보곘다.