함수의 배수변환, 함수의 해석 총정리

어떠한 함수 y=f(x)와 4y=f(3x) 가 있다고 해보자. 그래프로 표현했을 때 두 함수 간의 관계가 어떻게 될까?

이 관계를 파악해보려면 4y=f(3x)를 해석할 줄 알아야하는데 이를 해석하려면 우선 카발리에리의 원리를 알고 있어야 한다. 카발리에리의 원리란 '두개의 평면도형을 임의의 평행한 직선으로 나눌 때, 생기는 도형의 선분비가 m:n이면 도형의 넓이비는 m:n이 된다는 원리'이다. 이말인 즉슨 두개의 평면도형이 카발리에리의 원리에 해당되어있다면 선분에 평행하게 선분을 그려봤을 때 항상 m:n이 될 것이다. 이 원리를 이제 함수에 적용해보는 것이다.

우선 f(x)와 f(3x)의 관계부터 살펴보자. f(3x)는 f(x)를 x축방향으로 1/3배했다고 해석할 수 있다. 그래프 상 직관적으로 해석하면 f(3x)는 f(x)를 가로방향으로 3배 압축한다고 보면 되는 것이다. f(3x), f(x)는 어떠한 x값이던 y값이 같다면 항상 1:3의 비율을 가진다는 것으로 두 함수 모두 f의 꼴을 가지고 있다면 카발리에리의 원리를 적용하여 하나의 y값에 해당하는 x값 한쌍만 찾아보면 두 함수는 그 x값의 비율관계로 형성된다는 것을 알 수 있다.

y=f(x)와 y=f(x) 간의 관계도 마찬가지다. f(x)를 y축방향으로 1/4배했다고 해석할 수 있는 것이다. 이를 양함수로 표현하면 y=(1/4)f(x) 이므로 직관적으로도 관계가 친숙하게 보일 것이다.

따라서 4y=f(3x)는 f(x)를 x축방향으로 1/3배하고 y축 방향으로 1/4배한 함수라고 해석해볼 수 있는 것이다.

함수에서 (굳이 함수가 아니어도 되긴 하지만)
x축 방향으로 a배하였다 = x -> (1/a)x
y축 방향으로 b배하였다 = y -> (1/b)y

 

이 개념까지 완벽하게 숙지하게 된다면 수능수학 내에서 함수의 해석이나 조작을 해야하는 어떤 상황에서도 능숙하게 진행할 수 있을 것이다. 그래프 상 함수들 간의 관계파악(지수로그함수 그래프 문제에서 많이나옴), 함수방정식의 해석, 정적분 구간조작을 이용한 계산의 간단화할 때 이 개념들을 유용하게 쓸 수 있고 이러한 능력은 고득점으로 가기 위한 과정에서 서 필수로 가져야하는 능력이다.

 

예시를 하나 들어보면서 함수의 해석 및 조작에 대한 개념정리를 마치겠다.

y=f(x)와 3y=-f(-4x+8)+6 라는 두 함수가 있다고 해보자. 두 함수의 관계가 어떻게 될까?

대칭이동, 평행이동, 배수화를 이용하여 하나하나 해석해보면 된다. 이들을 이용하는 것이라 x,y를 바꿔주는 과정일 것이므로 -3y+6=f(-4x+8)로 식 정리를 하고 뭘 먼저하던 상관없으므로 6가지 경우 모두 생각해보자.

첫번째는 평행이동을 먼저해보는 것이다. f(x)를 x축방향으로 -8만큼, y축 방향으로 -6만큼 평행이동하면 y+6 = f(x+8) 이 될 것이다. 그 다음 대칭이동을 생각해보면 y축과 x축에 대해 대칭이동한 것이므로 -y+6 = f(-x+8) 이 될 것이고 마지막으로 배수화를 이용하여 y축으로 1/3배, x축으로 1/4배하면 y->3y, x->4x가 되므로 -3y+6=f(-4x+8) 이 나오는 것이다. 만약 배수화 먼저 생각해본다면 x축 방향으로 -1/4배, y축 방향으로 -1/3배했다고 해석해볼 수 있으므로 배수화한 것을 x,y축에 대칭이동한 것으로 합쳐서 해석해볼 수도 있을 것이다.

두번째는 대칭이동 먼저해보는 것이다. 이때 x,y 축에 대해 대칭이동한다로 해석하면 평행이동까지 해줘야하는 과정이 생길텐데 이를 한번에 묶어서 해석해보려면 어떻게 하면 될까? y=3에 대해 대칭이동을 하고 x=4에 대하여 대칭이동하면     6-y=f(8-x)로 표현되므로 한번에 해석할 수 있게 되는 것이다. 그 다음에 배수화를 이용하여 y축으로 1/3배, x축으로 1/4배하면 y->3y, x->4x가 되므로 -3y+6=f(-4x+8) 이 나오는 것이다.

마지막으로 배수화를 먼저해보는 것이다.  y축으로 1/3배, x축으로 1/4배하면 3y=f(4x)로 표현될 것이다. 그 다음 해석해야하는 식을 묶어서 정리를 해보면 3(2-y)=f(4(2-x)) 이 되므로 배수화한 후에 x=1, y=1에 대하여 각각 대칭이동을 하게 되면 해당 식이 나오게 되는 것이다.

해석에 대한 연습을 하는 과정이므로 모든 경우를 해석해보는 것이지 실전에서 사용할 때는 어떤 조작을 이용하면 해석을 제일 빠르게 할 수 있을지 생각하며 살펴보면 될 것이다. 보통은 배수화를 먼저하고 평행이동 및 대칭이동을 하는 순서가 그래프상에서 바로 해석하기 편하게 보이므로 이를 많이 쓰는 편이긴 하나 어떤 과정이던 다 할 줄은 알 정도로 연습을 하는 것이 우선이라 생각하고 이 연습을 많이 하여 해석을 익숙하게 만드는 것이 필자가 바라는 점이다.