성균관공대생의 고등수학 끄적이기

어떠한 함수 y=f(x)와 4y=f(3x) 가 있다고 해보자. 그래프로 표현했을 때 두 함수 간의 관계가 어떻게 될까?이 관계를 파악해보려면 4y=f(3x)를 해석할 줄 알아야하는데 이를 해석하려면 우선 카발리에리의 원리를 알고 있어야 한다. 카발리에리의 원리란 '두개의 평면도형을 임의의 평행한 직선으로 나눌 때, 생기는 도형의 선분비가 m:n이면 도형의 넓이비는 m:n이 된다는 원리'이다. 이말인 즉슨 두개의 평면도형이 카발리에리의 원리에 해당되어있다면 선분에 평행하게 선분을 그려봤을 때 항상 m:n이 될 것이다. 이 원리를 이제 함수에 적용해보는 것이다.우선 f(x)와 f(3x)의 관계부터 살펴보자. f(3x)는 f(x)를 x축방향으로 1/3배했다고 해석할 수 있다. 그래프 상 직관적으로 해석하면 f..

대칭이동에 관한 얘기는 중학교 때부터 꾸준히 들어왔던 내용이어서 익숙하게 느끼는 영역일 것이다. 하지만 수식으로 표현되어 있는 함수를 볼 때 이를 어떻게 해석하고 조작하는지에 대한 내용은 명확하게 알고 넘어갈 필요가 있다. 우선 함수 자체에 대칭이 있는 경우에 대해 생각해보자. 여기서 제일 많이 봤던 것들이 우함수, 기함수정도가 있을 것이다. 우함수는 y축 대칭, 즉 선대칭 함수 중 하나이고, 기함수는 원점 대칭, 즉 점대칭 함수 중 하나인데, 이를 수식으로 표현해보면 우함수: f(x) = f(-x) 기함수: f(x) = -f(-x) 또 하나 생각해 볼 수 있는 건 y=x 대칭, 즉 선대칭 함수 중 하나정도 있을텐데, 이를 수식으로 표현해보면 y=x대칭함수: f(f(x)) = x (이건 사실 하나의 함수..

평행이동 돼 있는 관계의 두 곡선과 직선이 만났을 때는 어떨까? 이 때도 평행이동의 개념을 활용해볼 수가 있을텐데, 하나의 경우만 나오지 않는 것이 중요하다. 하나하나 천천히 생각해보자. 우선 첫번째 경우는 두 곡선과 직선이 만났는데 두 곡선이 직선의 기울기 비율로 평행이동되어 있는 상황이다. '기울기의 비율로 평행이동되어있다.' 라는 말이 생소하게 들릴 수 있는데, 풀어 써보면 평행이동한 두 함수의 x,y 변화량 비율이 기울기와 같다라는 말이다. 예를 들어, 함수 f(x)와 f(x)에서 (+3,+9)만큼 평행이동되어 있는 함수 g(x)가 기울기 3인 일차함수 k(x)와 각각 만난다고 생각해보자. 함수 g(x)는 함수 f(x)에서 x,y축 방향으로 1:3만큼 평행이동되어 있는 함수이므로 기울기 3인 직선..

지수로그함수 그래프 문제에서 많이 나오는 개념인데, 곡선과 직선이 그래프에 표현되어 있을 때 식으로 접근하는 것이 아닌 함수의 해석을 통해 기하적인 접근(그래프 풀이)을 할 수 있는 시각을 가져보라는 것이다. 우선 제일 간단한 상황을 생각해보자. 어떤 함수 f(x)와 일차함수(직선의 방정식) g(x)가 두 점에서 만난다고 했을 때 두 점의 관계를 알아야하는 상황이라면 우선 f(x)=g(x)를 통해 식 정리를 하여 근의 관계를 파악하는 식으로 식풀이를 생각해볼 수가 있다. 만약 f(x)가 다항함수라면 식으로 푸는 방식은 적합하다고 볼 수 있다. '다항식=다항식'이므로 인수분해하는 식으로 식정리를 할 수도 있고 근과 계수관계를 이용할 수도 있기 때문이다. 지수로그함수 그래프 문제에서 많이 나오는 개념이라고 ..

수학에서 함수에 대해 공부하다보면 생각없이 외우고 넘어가는 부분이 있다. '함수를 평행이동시키면 부호는 반대방향으로 놓고 가야한다.'라는 것인데, 필자는 고등학교 시절 수학공부를 할 때 함수를 평행이동하는 것에 의문이 들긴 헀으나 수학 자체에 큰 관심은 없었기에 그냥 학원에서 '좌표의 평행이동과는 방향이 반대로 간다.'라고 주입식으로 외우는 것을 받아들였다. 결론적으로 말하면 수능을 보는 기준에서는 굳이 이유를 알 필요는 없다. 나 역시 수학과외를 할 때나 학원에서 학생들을 가르칠 때 함수의 평행이동 개념을 설명할 때 이유를 궁금해하는 학생이 없다면 굳이 설명하진 않고 외우라는 식으로 하고 넘어간다. 그래도 알아두면 함수라는 것에 대한 시각을 좀 더 넓힐 수 있지 않을까 싶어서 내가 이해한 방식에 대해 ..