함수의 평행이동(3) - 두 곡선과 직선의 관계해석

평행이동 돼 있는 관계의 두 곡선과 직선이 만났을 때는 어떨까? 이 때도 평행이동의 개념을 활용해볼 수가 있을텐데, 하나의 경우만 나오지 않는 것이 중요하다. 하나하나 천천히 생각해보자.

우선 첫번째 경우는 두 곡선과 직선이 만났는데 두 곡선이 직선의 기울기 비율로 평행이동되어 있는 상황이다. '기울기의 비율로 평행이동되어있다.' 라는 말이 생소하게 들릴 수 있는데, 풀어 써보면 평행이동한 두 함수의 x,y 변화량 비율이 기울기와 같다라는 말이다. 예를 들어, 함수 f(x)와 f(x)에서 (+3,+9)만큼 평행이동되어 있는 함수 g(x)가 기울기 3인 일차함수 k(x)와 각각 만난다고 생각해보자. 함수 g(x)는 함수 f(x)에서 x,y축 방향으로 1:3만큼 평행이동되어 있는 함수이므로 기울기 3인 직선의 방향으로 평행이동되어 있는 것이다. 따라서 평면좌표에 그려져있는 직선의 방정식에 따라 f(x)를 평행이동해보면 g(x)와 완전히 겹치게 되고, f(x)위에 점하나를 기울기 3인 직선을 따라 평행이동 시켜 g(x)와의 교점을 찍어보면 그 점이 기존의 점에서 평행이동된 점인 것이다. 2017 3월학평 가형 27번 문항을 예시로 들어보겠다.

 

2017 3월학평 가형 27번 문항

지문에 주어진 대로 지수함수를 대칭이동시켜보면 f(x)와 평행이동 관계이면서 각각 직선의 방정식과 교점을 가지고 있는 상황임을 확인할 수가 있다. 그런데 평행이동 관계인 두 함수의 평행이동된 비율을 확인해보면 1:1로 평행되어 있고 직선의 기울기도 1이므로 두 곡선이 직선의 기울기 비율로 평행이동되어 있는 상황이고, 따라서 B에서 (+1/4,+1/4)만큼 평행이동 시킨 점이 A가 된다는 것을 알 수 있게 된다.

이 문제를 그래프적인 해석을 하지 않고 식으로만 접근하려 했을 경우 '지수함수 = 다함함수' 꼴의 방정식이 나오게 되므로 값을 추측보면서 근을 찾아낼 수 밖에 없는 불상사가 일어나게 된다. 그래프적인 해석이 중요한 이유가 여기에 있는 것이다.

 

 

두번째 경우는 두 곡선과 직선이 만났는데 두 곡선이 직선의 기울기 비율로 평행이동되어 있지 않는 상황이다. 이 때는 위의 경우와는 다르게 한 곡선을 직선의 방정식에 따라 평행이동시켜보면 겹치지 않을 것이고, 따라서 교점을 구할 때 그래프자체만으로는 구할 수가 없게 되는 것이다. 그렇다고 교점을 구하기 위해 '다항식=다항식이 아닌 곡선함수'로 식 접근하면 방정식을 정리하기 힘들 것이므로, 이 때는 두 함수 중 하나를 직선의 방정식 기울기에 맞게 평행이동시키고 그것이 다른 함수와 만난다고 식정리를 해보는 것이다. 예를 들어 두 지수함수 f(x), g(x)와 그 두 함수를 뚫고가는 직선의 방정식 y=2x가 있다고 생각해보자. 두 지수함수의 평행이동 비율이 기울기 비율과 다르다면 f(x)를 (+1,+2) 비율로 평행이동 시켜 f(x-t)+2t = g(x) 방정식으로 풀어보겠다는 생각을 해보는 것이다. 2023 10월 교육청 모의고사 13번 문제를 예시로 들어볼 수 있고 이 문항은

https://korea-sat-math.tistory.com/2 

2023(2024수능) 10월 교육청 모의고사 13번 문제풀이

따로 정리해두었기 때문에 링크만 걸어두겠다.