함수의 평행이동(1) - 좌표의 평행이동과는 왜 반대부호를 가지는가.

수학에서 함수에 대해 공부하다보면 생각없이 외우고 넘어가는 부분이 있다. '함수를 평행이동시키면 부호는 반대방향으로 놓고 가야한다.'라는 것인데, 필자는 고등학교 시절 수학공부를 할 때 함수를 평행이동하는 것에 의문이 들긴 헀으나 수학 자체에 큰 관심은 없었기에 그냥 학원에서 '좌표의 평행이동과는 방향이 반대로 간다.'라고 주입식으로 외우는 것을 받아들였다. 결론적으로 말하면 수능을 보는 기준에서는 굳이 이유를 알 필요는 없다. 나 역시 수학과외를 할 때나 학원에서 학생들을 가르칠 때 함수의 평행이동 개념을 설명할 때 이유를 궁금해하는 학생이 없다면 굳이 설명하진 않고 외우라는 식으로 하고 넘어간다. 그래도 알아두면 함수라는 것에 대한 시각을 좀 더 넓힐 수 있지 않을까 싶어서 내가 이해한 방식에 대해 잠깐 얘기해보고 넘어가겠다.

 

 

데카르트 좌표계 위에 y=f(x)라는 함수와 그 함수 위에 있는 하나의 좌표 (a,b)를 생각해보자.

함수가 평행이동된 것이면 함수 안에 좌표들도 다 3만큼 평행이동 된 것이므로 기존의 잡아놨던 좌표 (a,b)는 (a+3,b)로 이동된 것이다. 이 좌표값을 가지는 함수에 대해 생각해보는 것이다. x좌표가 3만큼 바뀌었는데 해당좌표의 y값은 평행이동전의 값과 같아야하므로 좌표가 평행이동된 함수 틀에 들어갈 때 평행이동전의 함수값과 같은 값으로 나오려면 함수의 틀은

b=f(a) -> y=f(x)

에서

b=f((a+3)-3) -> y=f(x-3)  

이 되어야한다.

짧게 말하면 x축 방향으로 평행이동 했을 때 함수의 틀안에 바뀐 평행이동된 x좌표값을 넣었을 때 같은 함수값이 나오도록 조작해 본다는 것이다. 그렇게 생각해보면 좌표의 평행이동과 함수의 평행이동은 부호가 반대인 방향으로 갈 수 밖에 없다라는 생각이 직관적으로 들 수 있는 것이다.

사실 중요한 개념은 아니지만 생각해보면 당연한 소리이므로 이정도 얘기하고 넘어가보겠다.

 

알아둬야할 개념 자체는 간단하다.

y=f(x) 에서 x축방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동하면 

y-b=f(x-a)

로 표현할 수 있고

양함수로 표현되어 있는 함수식이므로 좌변에는 y만 두어서

y=f(x-a)+b

로 정리되어 표현되는 것이다.

 

결론

함수에서 (a,b) 평행이동 했다.

x -> x-a  y -> y-b

로 함수 해석 및 조작을 하는 것.