고유값, 고유벡터, 대각화

고유벡터(eigenvector)

행렬 변환을 적용했을 때 방향이 바뀌지 않는 벡터(변환 후에도 원래 벡터와 같은 직선 위에 있는 벡터)

 

고유값(eigenvalue)

그 고유벡터가 얼마나 늘어나거나 줄어드는지를 나타내는 스케일링 인수

 

 

대수적중복도와 기하적중복도

대수적중복도(Algebraic Multiplicity): 특성방정식의 근 λ의 차수(특성방정식 det(A - λI) = 0에서 고유값 λ가 근으로 나타나는 횟수)

기하적중복도: 고유값 λ에 대응하는 선형독립인 고유벡터의 개수

(dim(ker(A - λI)) = n - rank(A - λI)) 기본관계식

항상 성립: 기하적 중복도 ≤ 대수적 중복도

 

대각화 조건

n×n 행렬 A가 대각화 가능한 필요충분조건: 모든 고유값에 대해 기하적 중복도 = 대수적 중복도

 

대각화 가능 ⟺ 모든 고유공간의 차원이 충분히 큼

이는 행렬이 "좋은 기저"를 가져서 대각행렬로 단순화할 수 있는지를 판단하는 핵심 조건

 

기본적인 활용

고유값과 그에 대응되는 고유벡터가 주어져있으면 대각화를 이용하여 주어진 행렬 구한다는 역의 방향도 항상 생각하기.