선형변환 조건 및 차원정리

1. 선형변환 조건

 

함수 F 가 선형성을 만족해야함

1. F(ax)  = aF(x) 
2. F(x+y) = F(x)+F(y)

2. properties

• F(0) = 0
• F(ax+by)= aF(x)+bF(y)

 

3. 선형변환과 차원

1. 기본정의

선형 변환 T: V -> W

-V, W는 vector space (dim V = n, dim W = m)

-T(au+bv) = aT(u) + bT(v)

• 핵(kernel): ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0} -> null space
• 상(image): im(T) = {T(v) | v ∈ V}
• 계수(rank): rank(T) = dim(im(T)) -> dim(col(T)) = dim(row(T)) = rank(T) 
• 영공간의 차원(nullity): nullity(T) = dim(ker(T)) -> 영벡터로 대응되는 벡터들의 집합

 

헷갈렸던 부분 : 행공간, 열공간과 영공간, 좌영공간은 다른 차원들

1. 열공간(column space): dim = rank(A) : 열벡터들의 생성공간

2. 행공간(row space): dim = rank(A) : 행벡터들의 생성공간

3. 영공간(null space): dim = n-rank(A) ( null(A) = {x | Ax = 0} ) 

4. 좌영공간(left null space): dim = m-rank(A) ( null(Aᵀ) = {y | Aᵀy = 0} )

5. dim(V) , dim(W)은 정의역, 치역의 차원을 의미하는 것이고 이는 열공간, 행공간의 차원은 부분공간에 해당하므로 이 역시 다른 개념들

 

 

2. 차원정리(Rank-Nullity Theorem)

• dim(V) = Rank(T) + nullity(T)  
• 정의역의 차원 = 상의 차원 + 핵의 차원
• 선형변환의 "정보 보존" 원리

 

3. 단사성과 전사성

 

단사성 (Injectivity)

• 조건: T(u) = T(v) ⟹ u = v
• 동치조건: ker(T) = {0} (모든 열에 pivot)
• 차원조건: rank(T) = dim(V)

전사성 (Surjectivity)

• 조건: 모든 w ∈ W에 대해 T(v) = w인 v가 존재
• 동치조건: im(T) = W (모든 행에 pivot)
• 차원조건: rank(T) = dim(W)

 

4. 차원에 따른 분류

Case 1: dim(V) = dim(W) = n (동차원)

• 전단사 ⟺ 단사 ⟺ 전사
• 하나만 성립하면 모두 성립
• 가역변환(invertible)

Case 2: dim(V) > dim(W) (차원 축소)

• 전사 가능, 단사 불가능
• 반드시 ker(T) ≠ {0}

Case 3: dim(V) < dim(W) (차원 확장)

• 단사 가능, 전사 불가능
• im(T) ≠ W (진부분공간)

 

5. 행렬 관점에서의 해석

m×n 행렬 A로 표현되는 선형변환

• rank(A): 행렬의 계수
• 단사: rank(A) = n (열벡터들이 일차독립)
• 전사: rank(A) = m (행공간이 ℝᵐ 전체)