전사성과 단사성

수업시간에 전사성과 단사성에 대해 다뤘었는데 교수님께서 이해시켜주신 방식이 너무 잘 와닿았어서 남겨봐야겠다.

 

A(m*n) 행렬일때 

 

1. 전사성(onto)

모든 영역을 다 커버해줘야한다.. 즉 공역과 치역이 같아야한다는 의미. 기하적 직관으로 이해해보자.

 

임의의 b∈ℝᵐ 에 대해

Ax=b 의 해가 존재한다.T가 onto, dim(Im(T)) =m두 명제는 필요충분조건이다.

 

b벡터는 m차원이므로 행렬 A의 열공간이 m차원이어야함.

열공간은 상(치역)을 나타내므로 이것이 m차원이 되지 못하면 b벡터를 열공간으로 표현할 수 없기 때문임.

따라서 모든 행에 pivot이 존재해야한다는, 즉 rankA=m 이 되어야만

dim(Im(T)) = dim(W) = m 을 만족해줄 수 있다.

 

 

2. 단사성(one-to-one)

일대일 대응적으로 나온다. 서로 다른 두 정의역에 대해 같은 치역을 가지면 안된다.

 

Ax=b 가 유일해를 가진다.

T가 one-to-one, ker(T)={0}

두 명제는 필요충분조건이다.

 

사실 단사성은 이해할 수 있는 방식이 많기도 해서 기하적으로도 이해하는데에 크게 어려울 것이 없었다. 두 가지 방식으로 이해해보면

 

1. null space가 영벡터로 형성되어야함이 자명하다 -> null space 정의 자체가 동차식에서 나오는 해공간을 의미하는 것이므로 이 공간이 어떠한 차원을 가지게 되어버리면 영벡터를 치역으로 하는 정의역이 무수히 많아지기 때문에 단사성을 만족할 수 없을 것이다.

 

2. 선형변환의 정보손실관점 -> n개의 열벡터들이 서로 독립하지 않는다면 행렬 A를 통해 변환되는 상황에서 정의역에서의 정보손실이 일어나기 때문에(차원축소같은 느낌) 일대일 대응적으로 변환되지 못하고 같은 치역을 가지게 되는 정의역들이 존재하게 될 것이다...(직관적인 생각으로만 이해해보자는 차원)

 

3. 고유값이 0이 있다면 이는 무조건 단사성을 만족할 수 없다. 1,2의 논리 연장선 차원임.