선형연립방정식 해의 존재성

해의 존재성

 

 

미지수의 개수(열개수) = 행렬의 계수 + Nullity(해공간의 차원)

 

RREF 관점에서 이해해보면 좀 덜 헷갈리는듯

 

행렬의 계수 = pivot 개수

nullity = free variable 개수

 

 

따라서 rank < n 이면 Free variable이 생기기 때문에 당연히 근이 무수히 많이 존재할 수 밖에 없음.

(물론 비제차식에서는 첨가행렬의 계수와 계수행렬의 계수값이 같아야 근이 존재한다라는 전제조건이 들어가지만)

 

정리하면

 

1. 제차식
   - rank < n : 근이 무수히 많음. 영벡터가 아닌 null space 형성
   - rank = n : 자명해(trivial solution). 영벡터의 null space 형성
2. 비제차식(계수행렬 rank ≠ 첨가행렬 rank) -> 첨가행렬만 rref해보면 됨
   -해가 존재하지 않음
3. 비제차식(계수행렬 rank = 첨가행렬 rank)
   - rank < n : 근이 무수히 많음.
   - rank = n : 근이 하나로 존재.

 

이는 고유벡터와 고유값에 대한 내용에서도 마찬가지로 적용됨을 알 수 있는데

 

고유값을 구해서 이를 대입해 고유벡터를 구하는 과정을 살펴보면

(A-λI)x = 0 

의 꼴이 나오므로 제차식을 푸는 상황이 나온다.

따라서 고유벡터 역시 행렬계수에 영향을 받는 null space를 형성하게 됨을 알 수 있고

 

"n = Rank A + Nullity"

 

를 다시 적용해본다면 Nullity는 각 고유값에 대응하는 고유벡터들이 이루는 벡터공간(고유공간)의 차원을 의미함을 알 수 있고, 이는 기하적중복도의 개념과 연계되는 것까지 정리하면 앞에서 배운 선형연립방정식 제차식의 상황과 똑같이 떨어짐을 이해해볼 수 있다.

 

기하적중복도와 대수적중복도가 같다는 것 ->  대각화 가능한 행렬

의 생각으로 자연스럽게 이어지기는 하는데.. 이에 대한 정리는 다음 글에서 해봐야겠다.